Computabilidad Parte 1, Continuo y Simulaciones: Los Límites Fundamentales de la Computación Científica

Introducción

Cuando resolvemos una ecuación diferencial parcial para simular un agujero negro, calculamos la órbita de un planeta o generamos una imagen fractal de Mandelbrot, estamos usando máquinas discretas (computadoras) para representar sistemas teóricamente continuos. Esta práctica cotidiana en computación científica plantea una pregunta fundamental:

¿Podemos realmente simular el mundo continuo usando únicamente conjuntos numerables?

La respuesta es técnica y filosóficamente fascinante:

✅ Sí, para aproximar resultados prácticos.

❌ No, para abarcar el continuo en toda su completitud matemática.

Veamos con rigor por qué.

La Computabilidad y los Conjuntos Numerables

La Teoría de la Computabilidad, desarrollada por Turing, Church y Post en los años 30, formaliza lo que significa “calcular” en términos de algoritmos efectivos.

Una Máquina de Turing (MT) es el modelo estándar de computación: procesa cadenas finitas sobre un alfabeto finito.

Por tanto, cualquier función computable es una función:

donde $\Sigma^*$ es el conjunto de todas las cadenas finitas sobre un alfabeto $\Sigma$, y es numerable.

En otras palabras:

Sólo los conjuntos numerables pueden ser manipulados por algoritmos.

Esto implica que las computadoras no pueden operar sobre conjuntos no numerables, como $\mathbb{R}$, en toda su extensión.

Los Números Computables: Un Subconjunto Denso pero No Completo

Los números computables son aquellos reales que pueden ser aproximados arbitrariamente mediante un algoritmo. Ejemplos:

• $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$, $\ln(2)$: computables mediante fórmulas o algoritmos.
• La mayoría de los números reales: no computables (en el sentido de cardinalidad, casi todos los reales no tienen una descripción finita).

Formalmente:

• El conjunto de números computables es numerable.
• El conjunto de números reales $\mathbb{R}$ es no numerable (cardinalidad $2^{\aleph_0}$).

Esto tiene consecuencias profundas:

• Los números computables son densos en $\mathbb{R}$, es decir, entre cualquier par de reales hay un computable.

• Pero los computables no forman un cuerpo completo:

  Ejemplo: la sucesión de Specker es una secuencia computable acotada que no tiene supremo computable.

  Esto significa que muchos teoremas del análisis clásico (como el teorema de Bolzano-Weierstrass) fallan si restringimos el universo a números computables.

Computación Científica: Simular el Continuo con Aproximaciones Discretas

Dado que no podemos trabajar con todos los reales, en la práctica:

• Usamos flotantes (IEEE 754), racionales o enteros grandes (BigInt) como representaciones finitas.

• Aproximamos constantes trascendentes mediante algoritmos (series infinitas truncadas, iteraciones).

  Ejemplo:

  $$\pi \approx 3.1415926535\ldots$$

En simulaciones físicas (EDP, dinámica de fluidos, relatividad general):

• Discretizamos el espacio y el tiempo → mallas finitas (grid), pasos de tiempo ($\Delta t$).
• Aplicamos métodos numéricos (Euler, Runge-Kutta, elementos finitos) para aproximar soluciones.

Estas aproximaciones son suficientes para ingeniería, física y visualización. Pero:

• Siempre contienen error numérico.
• No pueden alcanzar la “verdad matemática” del continuo.

Números Complejos, Cuaterniones, Octoniones y Transfinitos: ¿Qué Pasa con Ellos?

Complejos ($\mathbb{C}$):

Si restringimos $a$ y $b$ a números computables, obtenemos los complejos computables. Misma historia: densos, aproximables, pero no todos alcanzables.

Cuaterniones ($\mathbb{H}$), Octoniones ($\mathbb{O}$):

Extensiones algebraicas finitas sobre $\mathbb{R}$. Mientras trabajes con coordenadas computables, puedes aproximar operaciones.

♾️ Transfinitos ($\omega$, $\omega_1$, $\aleph_0$, $\aleph_1$):

No computables. Los transfinitos son conceptos de la teoría de conjuntos, no manipulables por algoritmos.

Filosofía y Consecuencias

El análisis clásico sobre $\mathbb{R}$ es una construcción no constructiva, basada en la existencia de un continuo infinito.

El análisis computable (trabajos de Specker, Bishop, Richman) reescribe todo el análisis usando solo números computables, pero pierde teoremas clave y propiedades de completitud.

Conclusión brutal:

Las computadoras no pueden operar sobre el continuo matemático. Solo pueden aproximar partes discretas y finitas de él.

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